5.ÜNİTE:VERİ

 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ…

Eldeki verilerin düzenlenerek tablolarla, grafiklerle sunulma-sı çoğu zaman yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere ( merkezi eğilim ölçüleri ) ihtiyaç vardır. Merkezi eğilim ölçüleri ; aritmetik ortalama, ortanca ( medyan ) ve tepe değeridir. ( mod )

1 ) Aritmetik Ortalama : Aritmetik ortalamayı verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplayabiliriz. Aritmetik ortalama çoğunlukla ( X ) ̅ ile gösterilir.

Soru : 11 , 8 , 9 , 3 , 15 , 21 , 45 , 16 grubunun aritmetik ortala-ması – 15 , – 13 , – 31 , – 5 , – 11 grubunun aritmetik ortalamasından kaç fazladır ?

Soru : 3 , 8 , m , 15 , 3m , 5 , 10 grubunun aritmetik ortalaması 11 ise grupta m olmasaydı grubun aritmetik ortalaması kaç olurdu ?

Soru : Bir sınıftaki öğrencilere kardeş sayıları sorulmuş ve tablo oluşturulmuştur. Bu tabloya göre sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır ?

Öğrenci Sayısı	10	6	5	8	9	4
Kardeş Sayısı	5	3	0	4	2	1

Soru : Bir öğrencinin bazı derslerden aldığı notlar ve haftalık ders saatleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Verilere göre öğrencinin ağırlıklı not ortalamasını bulunuz.

Öğrenci Sayısı	Not	Ders Saati
Matematik	65	4
Fizik	46	2
Tarih	80	2
İngilizce	38	3

 ( Ders notu ders saati ile çarpılır. Tüm sonuçlar toplanır ve toplam ders saatine bölünür. Sonuç bize ağırlıklı not ortalamasını verir. )

2 ) Ortanca ( Medyan ) : Bir veri grubunun ortanca değerini bulmak için sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır.

A ) Veri grubunun sayısı tek ise ortadaki terim ortancayı verir.
B ) Veri grubunda çift sayıda veri olma durumunda ortanca, ortada bulunan iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
Veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında; ilk terim grubun en küçük değerini, son terim ise grubun en büyük değerini gösterir.

Soru : 5 , 17 , 13 , 4 , 8 , 21 , 11 , 2 , 7 veri grubunun ; ortancasını, en küçük ve en büyük değerini bulunuz.

Soru : 10 , 3 , 14 , 20 , 8 , 5 , 17 , 1 veri grubunun ; ortancasını, en küçük ve en büyük değerini bulunuz.

3 ) Tepe Değeri ( Mod ) : Bir veri grubundaki en sık tekrar-lanan değere “ tepe değeri ( mod ) ” adı verilir.

Örneğin; 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 veri grubunun tepe değeri 3 ’tür.

3 , 5 , 7 , 7 , 8 , 8 , 10 , 15 , 21 veri grubunun tepe değeri ise 7 ve 8 elemanlarıdır.

Not : Örneğin; 1 , 2 , 5 , 7 , 3 , 11 , 8 – 5 , 5 , 5 , 5 , 5 – 2 , 2 , 3 ,

3 , 4 , 4 , 5 , 5 veri gruplarının tepe değeri yoktur. Çünkü veri gruplarında diğerlerine göre daha çok tekrar eden herhangi bir eleman yoktur.

Soru : 5 , 10 , 12 , 21 , 15 , 8 , 12 , 22 , 18 , 35 , 2 veri grubunun tepe değeri ile ortancasının toplamı kaç olur ?

Soru : 11 , 6 , x – 5 , 16 , 3 , 6 , y + 4 , 10 veri grubunun tepe değeri 10 ise x . y = ?

Soru : 4 , 5 , 2 , 2 , 7 , 6 , 8 , 6 , 10 , 14 , x , 10 veri grubunun aritmetik ortalaması 7 ise grubun tepe değeri ve

ortancasını bulunuz.

Soru : 5 , 3 , 5 , 10 , 9 , 6 , 5 , 7 , 7 , 6 , x , 6 veri grubunun tepe değerlerinin ortalaması 6 ise grubun ortancasını bulunuz.

MERKEZİ YAYILIM ÖLÇÜLERİ…

Bazen merkezi eğilim ölçüleri karar vermede yeterli olmaya-bilir. Bu durumda karar verme sürecinde merkezi yayılım ölçülerinden faydalanırız. Merkezi yayılım ölçüleri; açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapmadır.

1 ) Açıklık : ( Aralık veya Ranj ) Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değerin farkı verilerin açıklığını gösterir.

Örnek : 5 , 17 , 13 , 4 , 8 , 21 , 11 , 2 , 7 veri grubunun açıklığını bulunuz.

2 ) Alt Çeyrek – Üst Çeyrek – Çeyrekler Açıklığı :
Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortanca ( Q_( 2 ) ile gösterilir ), veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayrılır. Sol tarafta kalan veri grubuna “ alt grup ”, sağ tarafta kalan veri grubuna da “ üst grup ” adı verilir.
Alt grubun ortancasına “ alt çeyrek ” ( Q_( 1 ) ile gösterilir ) , üst grubun ortancasına da “ üst çeyrek ” ( Q_( 3 ) ile gösterilir ) adı verilir.
Üst çeyrek ile alt çeyreğin farkına ise “ çeyrekler açıklığı ” adı verilir.

Çeyrekler Açıklığı  =  13 – 4  =  9   olarak bulunur.

Soru : 12 , 11 , 7 , 9 , 7 , 14 , 8 , 13 , 5 veri grubunun açıklığını, ortancasını ve çeyrekler açıklığını bulunuz.

Soru : 2 , 5 , 7 , 2 , 3 , 4 , 5 , 9 veri grubunun açıklığını, ortanca-sını ve çeyrekler açıklığını bulunuz.

3 ) Standar Sapma : Bir veri grubunda açıklık ve çeyrekler

açıklığı da merkezi yayılımı etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda veri grubunun standart sapması grup hakkında daha doğru yorum yapabilmemize imkan verir.
Standart sapma bulunurken;
1 ) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur. ( ( X ) ̅ )
2 ) Tüm verilerin sırası ile aritmetik ortalama ile farkının karesi alınır ve toplanır.
3 ) Bulunan toplam terim sayısının 1 eksiğine bölünür.
4 ) Çıkan sonucun karekökü alınır.

Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların aritmetik orta-lamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi vermektedir. Standart sapma ne kadar küçükse veri grubundaki sayılar birbirine o kadar yakındır.
Örnek : 8 , 4 , 2 , 10 ve 6 veri grubunun standart sapmasını bulunuz.

Soru : Bir dersten sınava giren beş öğrencinin aldığı puanlar;30 , 40 , 60 , 80 ve 90 ’dır. Bu notların standart sapmasını hesaplayınız.

Soru : 12 , 7 , 8 , 8 , 10 , 10 , 5 , 6 , 6 ve 8 veri grubunun standart sapmasını bulunuz.

Not : Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların aritmetik

ortalamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi vermektedir. Standart sapmaların karşılaştırıldığı sorularda, standart sapmanın küçük çıktığı değerler daha istikrarlı karşılanır.

Örnek : İki sınıftaki öğrencilerin bir dersten aldıkları notların aritmetik ortalaması ve standart sapması tabloda verilmiştir.

Notlara göre hangi sınıfın daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz ?

Sınıf	Aritmetik Ortalama	Standart Sapma
9 – A	50	2,3
9 – B	50	4,1

Soru : Fatih, Aslı ve Taha’nın 120 soruluk deneme sınavlarındaki ortalama netleri ve standart sapmaları tabloda verilmiştir. Verilere göre kimin daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz ?

Kişi	Aritmetik Ortalama ( Net )	Standart Sapma
Fatih	90	3
Aslı	88	2,4
Taha	90	4,1

GRAFİK YORUMLAMA…

Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine “ grafik ” adı verilir. Grafik türleri olarak; sütun, çizgi, daire, histogram, serpilme ve kutu grafiklerini işleyeceğiz.

1 ) Sütun Grafiği : Belirli bir zaman aralığında bazı veri grup- larının gelişimini veya veri gruplarını karşılaştırmak amacıyla kullanılan grafik türüdür. Eldeki veriler sütunlar veya çubuklar ile gösterilir. Sütun grafiği yatay veya düşey eksende de çubuklar ile gösterilebilinir.

Örnek : Alttaki tabloda bazı öğrencilerin bir dersten aldıkları notlar verilmiştir. Tabloya uygun bir sütun grafiği oluşturunuz.

Soru : Alttaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin fizik dersinden aldıkları notu göstermektedir. Grafiğe göre ;

A ) Sınıf mevcudu 7 kaçtır ?

B ) 7 notunu alanlar sınıfın yüzde kaçını oluşturur ?

C ) Geçer not 5 ise sınıfın yüzde kaçı kalmıştır ?

Soru : Altta bir şirketin 2015 ve 2016 yıllarındaki bazı aylardaki satış miktarlarının karşılaştırılmasını gösteren bir grafik verilmiştir. Grafiğe göre ;

A ) Satış rakamları arasındaki farkın en çok olduğu ay hangisi- dir ?

B ) Yıl bazında toplam satış miktarlarını bularak, hangi yıl diğerinden adet olarak kaç bin adet fazla satış yapılmıştır?

C ) Yıl bazında ortalama satışları bulunuz.