MatematikDünyası: 1.ÜNİTE:MANTIK

1.ÜNİTE:MANTIK

ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER

Mantık Nedir?

Mantık, doğru düşünme biçimini araştıran bir araştırma alanıdır. Günlük hayattaki mantık terimi de benzer anlamdadır. Birşeyin mantıklı olup olmaması kişilere ve durumlara göre değişebilir.

Önerme Nedir?

Doğru veya yanlış şeklinde kesin hükümde bulunabileceğimiz yargılara önerme adı verilmektedir. Matematikte önermeleri p, q, r, s, t gibi küçük harflerle göstermekteyiz.

Örnek: Türkiye’nin başkenti ANKARA’dır ifadesi bir önerme midir?

Çözüm: Bu bir önermedir, çünkü önermeler doğru ve yanlışlığı belirlenebilir yargılardır. Türkiye’nin başkenti ANKARA dır, bunu biliyoruz. Bu durumda yukarıdaki ifade bir önermedir, ayrıca bu önerme doğrudur.

Örnek: “Bir ay otuzaltı gündür.” Yargısı bir önerme midir, doğruluk durumunu inceleyiniz.

Çözüm: Bu yargı bir önermedir, çünkü doğruluğunu veya yanlışlığını kolayca sınayabiliriz. Diğer taraftan bu önerme yanlıştır, çünkü bir ay otuzaltı gün değildir. Bir ay bazen 30 bazen 31 bazen de 28 gün olabilir.

Örnek: “En güzel renk kırmızıdır.” Yargısı bir önerme midir? Doğruluk durumunu inceleyin.

Çözüm: Değerli arkadaşlar bu ifade bir önerme değildir. Çünkü en güzel renk kırmızıdır ifadesi kişiye göre değişebilir, bana göre en güzel renk sarı iken size göre eflatun olabilir. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle bir önerme değildir.

Örnek: “Hayırlı akşamlar” ifadesi bir önerme midir? İnceleyiniz.

Çözüm: Bu ifade hiç bir yargı belirtmemektedir, bu nedenle önerme olamaz.

Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına o önermenin doğruluk değeridenmektedir. Eğer önerme DOĞRU ise doğruluk değeri D harfi ile veya 1 rakamı ile, eğer önerme YANLIŞ isedoğruluk değeri Y harfi ile veya 0 rakamı ile gösterilir.

Elimizde bir p önermesi olsun, eğer bu p önermesinin değeri 1 ise p ≡ 1şeklinde ifade ederiz, eğer değeri 0 ise de p ≡ 0 şeklinde ifade ederiz.

Örnek: p: “9 tek sayıdır” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm: 9 gerçekten de bir tek sayıdır, değil mi arkadaşlar.. Sizin de bildiğiniz gibi 2 ye tam bölünen sayılar çift sayı, 2 ye bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar ise tek sayıdır. Şu durumda 9, 2 ye bölündüğünde 1 kalanını vereceğinden bir tek sayıdır. O halde önermemiz doğrudur.

Bunu nasıl göstermeliyiz? p ≡ 1 şeklinde göstermeliyiz. Yani p önermesi denktir 1 veya p önermesinin değeri 1 dir şeklinde okunur.

Örnek: q: “Üçgenin iç açıları toplamı 450 derecedir” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm: Üçgenin iç açıları toplamı 450 derece değil 180 derecedir. Bu önerme yanlıştır bu nedenle değeri 0 olmalıdır. q ≡ 0 diyebiliriz.

Bu şekilde örnekleri çoğaltabiliriz, sanırım önermelerin mantığını az çok anladınız. Aslında gayet basit bir konu, sadece bu önermeler ve mantık ders notunu okuyarak bile işi çözebilirsiniz.

ÖNEMLİ NOT: Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise p ≡ q, p önermesi q önermesine denk değil ise “p ≢ q” ile gösterilir.

Önermelerin Doğruluk Tablosunda Gösterilmesi

Önermelerin doğruluk değerleri bir tablo yardımıyla daha güzel bir şekilde gösterilebilir. Bu şekilde hazırlanan tablolara doğruluk tablosu denir.

Örnek: p önermesinin doğruluk tablosunu yapalım.

Yukarıdaki doğruluk tablosuna göre p önermesinin iki durumu vardır. p önermesi doğru olabilir, p önermesi yanlış olabilir.

Örnek: p ve q önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.

p önermesinin 2, q önermesinin 2 farklı doğruluk değeri olduğundan p ve q önermelerinin 2 . 2 = 2^2 = 4 farklı doğruluk durumu vardır.

Doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olacaktır.

Yukarıdaki doğruluk tablosunun açıklamasını yapalım.

p 1 iken q 1 olabilir
p 1 iken q 0 olabilir
p 0 iken q 1 olabilir
p 0 iken q 0 olabilir

Örnek: p, q ve r önermeleri için doğruluk tablosu oluşturalım.

Değerli arkadaşlar burada 3 farklı önerme olduğundan tablomuz 2x2x2 = 2^3 (iki üzeri üç) = 8 li olmalıdır.

Örnek: 5 farklı önermenin birbirine karşı kaç farklı durumu olduğunu bulalım.

Çözüm: 5 farklı önermeden 2 üzeri 5 ile yani 2^5 = 32 adet farklı durum meydana gelecektir bu nedenle doğruluk tablosunda 5 sütun 32 satır bulunmalıdır.

Bir Önermenin Değilini Bulmak (Önermenin Olumsuzunu Yapmak)

Önermelerin değilini yapmak çok kolaydır, önermenin mevcut değeri ne olursa olsun bunu tam tersiyle değiştirerek değilini kolayca oluşturabiliriz.

Örneğin bir p önermesinin değili p’ ile gösterilir, p önermesinin değeri 1 olsun bu durumda

p ≡ 1 olacaktır, eğer p nin değilini alırsak bu durumda p’ ≡ 0olacaktır. Yani p’nin değeri 1 ise 0 , 0 ise 1 olur. Aslında oldukça basit bir mantığı var değil mi?

Bir diğer karşınıza çıkacak nokta ise önermenin değilinin değilini almaktır, bu durumda önermenin son hali elde edilecektir. Yani, p önermesinin değeri 1 olsun, eğer değilini alırsak değeri 0 olur, tekrar değilini alırsak 1 olur, böylece başlangıçtaki duruma dönmüş, yeniden p önermesini elde etmiş oluruz, değil mi?

(p’)’ ≡ p

Yukarıdaki ifadede p nin değili olan p’ nün tekrar değili alınarak yeniden p elde edilmiştir. Şimdi dilerseniz bunun da doğruluk tablosuna bir bakalım.

Bileşik Önermeler

Birden fazla önermenin ve, veya, ancak ve ancak, ya da, ise gibi bağlaçlar yardımıyla birleştirilmesine bileşik önerme adı verilmektedir. Bileşik önermeleri anlamak ve üzerinde işlem yapmak da oldukça kolaydır.

1) VE Bağlacı ile Yapılan Bileşik Önermeler

Sevgili arkadaşlar, VE bağlacı ile bağlanan iki önerme şu şekilde gösterilir p ∧ q ve bu ifade p ve q diye okunur.

Eğer her iki önermenin değeri de 1 ise p ∧ q değeri 1 dir, diğer tüm durumlarda p ∧ q değeri 0 olacaktır.

Yani anlayacağınız şekilde açıklamam gerekirse, p ∧ q nun değerinin 1 olması için hem p hem de q nun değerinin 1 olması şarttır. p veya q dan biri bile sıfır olsa bu durumda p ∧ q değeri de 0 olacaktır.

Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakarak bunu net bir şekilde okuyabilirsiniz.

1. VE Bağlacının Tek Kuvvet Özelliği

Her p önermesi için p ∧ p ≡ p dir. Yani bir p önermesinin kendisi ile VE lenmesi sonucunda değer p nin başlangıç değeri olmaktadır. Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakarak bunu daha net bir şekilde görebiliriz.

Yukarıdaki tablodan da görebileceğiniz üzere p nin değeri 1 ise p ∧ p nin değeri 1 yani yine p ye eşit, eğer p nin değeri 0 ise p ∧ p nin değeri 0 a eşittir.

2. VE Bağlacının Değişme Özelliği Vardır

Her p ∧ q ≡ q ∧ p şeklinde bir değişme özelliği söz konusudur. Sıralamanın değişmesi sonucu değiştirmez.

3. VE Bağlacının Birleşme Özelliği de Vardır

Aşağıdaki doğruluk tablosunu incelediğinizde VE bağlacının birleşme özelliğini görebilirsiniz.

VEYA Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

İki farklı önermemiz olsun bunlar da p ve q olsun. Bu önermelerden herhangi birinin değerinin 1 olması halinde p veya q nun değeri 1 olacaktır. VEYA bağlacının sonucunun 1 olması için önermelerden sadece 1 inin doğru olması yeterlidir. Gösterimi p ∨ q şeklindedir, burada ∨ veya bağlacı olacak bilinir. Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakalım.

Gerçekten de yukarıdaki tabloda dikkat ediniz, p ve q dan en az birinin değeri 1 olduğunda p ∨ q değeri 1 e eşit, diğer durum olan her ikisinin de sıfır olması durumunda ise 0 a eşittir.

VEYA Bağlacının Özelliklerine Göz Atalım,

1) Veya Bağlacının Tek Kuvvet Özelliği

Veya bağlacı için p ∨ p ≡ p dir.

2) VEYA Bağlacının Değişme Özelliği

Veya bağlacında önermelerin yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.

3) VEYA Bağlacının Birleşme Özelliği

Veya bağlacında birleşme özelliği de mevcuttur, aşağıdaki tablodan bunu görebilirsiniz.

De Morgan Kuralları

De organ kurallarını kullanarak sınavlarda ve yazılı sorularında karşımıza çıkan sadeleştirme ve kısaltma sorularını hızla çözebiliriz. De Morgan kuralları aşağıdaki gibidir.

Ya Da Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin ya da bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ya da q bileşik önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir. p ⊻ q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden yalnız biri doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. p ve q önermeleri için p ⊻ q önermesinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir.

Ya Da bağlacı için de değişme ve birleşme özellikleri vardır fakat kuvvet özelliği yoktur.

İSE Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin ‘‘ise’’ bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q biçiminde gösterilir. p ⇒ qönermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. p ve q önermeleri için p ⇒ q önermesinin doğruluk tablosu aşagıdaki gibi olacaktır,