2.ÜNİTE:KÜMELER

KÜMELERDE İŞLEMLER
a) Birleşim İşlemi
A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir.
A ∪ B şeklinde gösterilir. A ∪ Bkümesi aşağıdaki şekildeki taralı bölgedir.
Kümelerde birleşim ile ilgili özellikler;
A ∪ A = A (Tek kuvvet özelliği)

A ∪ Ø = A

A ∪ E = E

A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ B = Ø ise A = Ø ve B = Ø dir.

A ⊂ B ise A ∪ B = B dir.
b) Kesişim İşlemi
A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir.
A ∩ B şeklinde gösterilir.A ∩ B kümesi taralı bölgedir.
Kümelerde kesişim ile ilgili özellikler;

A ∩ A = A dır. (Tek kuvvet özelliği)

A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø

A ∩ E = E ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği)

A ⊂ B ? A ∩ B = A

A ? Ø ve B ? Ø olmak üzere,
A ∩ B = Ø ise A ile B kümelerine ayrık kümeler denir.

A ile B ayrık kümeler

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
c) Tümleme İşlemi
E, evrensel küme ve A ⊂ E olsun.
Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni denir ve A^ı ile gösterilir.

Taralı bölge A kümesinin tümleyenidir.

A ∩ A^ı = Ø

A ∪ A^ı = E

Ø^ı = E, E^ı = Ø

(A^ı)^ı = A

s(A) + s(A^ı) = s(E)

A ⊂ B ? B^ı ⊂ A^ı

(A ∪ B)^ı = A^ı ∩ B^ı (De Morgan kuralı)

(A ∩ B)^ı = A^ı ∪ B^ı (De Morgan kuralı)

d) Fark İşlemi
A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin elemanları içinden varsa B kümesinin elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye “A fark B” kümesi denir ve A \ B ya da A – B şeklinde gösterilir.

A – A = Ø

E – A = A^ı

A – B = A ∩ B^ı

A ? B ise A – B ? B – A

A – Ø = A, Ø – A = Ø

(A – B) ∪ B = A ∪ B

(A – B) – C = A – (B ∪ C)

KÜMELERDEKİ İŞLEMLERLE PROBLEM ÇÖZÜMÜ
Yukarıdaki venn şemasında Almanca bilenlerin kümesi A, Fransızca bilenlerin kümesi F ile gösterilmiştir.

Almanca bilenlerin sayısı s(A) = x + y

Fransızca bilenlerin sayısı s(F) = y + z

Almanca bilmeyenlerin sayısı s(A^ı) = t + z

Fransızca bilmeyenlerin sayısı s(F^ı) = x + t

Almanca ve Fransızca bilenlerin sayısı s(A ∩ F) = y

Almanca veya Fransızca bilenlerin sayısı s(A ∪ F) = x+y+z

Almanca bilip, Fransızca bilmeyenlerin sayısı s(A – F) = x

Fransızca bilip, Almanca bilmeyenlerin sayısı; s(F – A) = z

Yalnız bir dil bilenlerin sayısı; s(A – F) + s(F – A) = x + z

Bu dillerin hiçbirini bilmeyenlerin sayısı, s(A ∪ F)^ı = t

Bu iki dilden en az birini bilenlerin sayısı; s(A∪F)= x+y+z

Bu iki dilden en çok birini bilenlerin sayısı; s(A ∩ F)^ı = x+z+t dir.

5.ÜNİTE:VERİ

 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ…

Eldeki verilerin düzenlenerek tablolarla, grafiklerle sunulma-sı çoğu zaman yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere ( merkezi eğilim ölçüleri ) ihtiyaç vardır. Merkezi eğilim ölçüleri ; aritmetik ortalama, ortanca ( medyan ) ve tepe değeridir. ( mod )

1 ) Aritmetik Ortalama : Aritmetik ortalamayı verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplayabiliriz. Aritmetik ortalama çoğunlukla ( X ) ̅ ile gösterilir.

Soru : 11 , 8 , 9 , 3 , 15 , 21 , 45 , 16 grubunun aritmetik ortala-ması – 15 , – 13 , – 31 , – 5 , – 11 grubunun aritmetik ortalamasından kaç fazladır ?

Soru : 3 , 8 , m , 15 , 3m , 5 , 10 grubunun aritmetik ortalaması 11 ise grupta m olmasaydı grubun aritmetik ortalaması kaç olurdu ?

Soru : Bir sınıftaki öğrencilere kardeş sayıları sorulmuş ve tablo oluşturulmuştur. Bu tabloya göre sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır ?

Öğrenci Sayısı	10	6	5	8	9	4
Kardeş Sayısı	5	3	0	4	2	1

Soru : Bir öğrencinin bazı derslerden aldığı notlar ve haftalık ders saatleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Verilere göre öğrencinin ağırlıklı not ortalamasını bulunuz.

Öğrenci Sayısı	Not	Ders Saati
Matematik	65	4
Fizik	46	2
Tarih	80	2
İngilizce	38	3

 ( Ders notu ders saati ile çarpılır. Tüm sonuçlar toplanır ve toplam ders saatine bölünür. Sonuç bize ağırlıklı not ortalamasını verir. )

2 ) Ortanca ( Medyan ) : Bir veri grubunun ortanca değerini bulmak için sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır.

A ) Veri grubunun sayısı tek ise ortadaki terim ortancayı verir.
B ) Veri grubunda çift sayıda veri olma durumunda ortanca, ortada bulunan iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
Veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında; ilk terim grubun en küçük değerini, son terim ise grubun en büyük değerini gösterir.

Soru : 5 , 17 , 13 , 4 , 8 , 21 , 11 , 2 , 7 veri grubunun ; ortancasını, en küçük ve en büyük değerini bulunuz.

Soru : 10 , 3 , 14 , 20 , 8 , 5 , 17 , 1 veri grubunun ; ortancasını, en küçük ve en büyük değerini bulunuz.

3 ) Tepe Değeri ( Mod ) : Bir veri grubundaki en sık tekrar-lanan değere “ tepe değeri ( mod ) ” adı verilir.

Örneğin; 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 veri grubunun tepe değeri 3 ’tür.

3 , 5 , 7 , 7 , 8 , 8 , 10 , 15 , 21 veri grubunun tepe değeri ise 7 ve 8 elemanlarıdır.

Not : Örneğin; 1 , 2 , 5 , 7 , 3 , 11 , 8 – 5 , 5 , 5 , 5 , 5 – 2 , 2 , 3 ,

3 , 4 , 4 , 5 , 5 veri gruplarının tepe değeri yoktur. Çünkü veri gruplarında diğerlerine göre daha çok tekrar eden herhangi bir eleman yoktur.

Soru : 5 , 10 , 12 , 21 , 15 , 8 , 12 , 22 , 18 , 35 , 2 veri grubunun tepe değeri ile ortancasının toplamı kaç olur ?

Soru : 11 , 6 , x – 5 , 16 , 3 , 6 , y + 4 , 10 veri grubunun tepe değeri 10 ise x . y = ?

Soru : 4 , 5 , 2 , 2 , 7 , 6 , 8 , 6 , 10 , 14 , x , 10 veri grubunun aritmetik ortalaması 7 ise grubun tepe değeri ve

ortancasını bulunuz.

Soru : 5 , 3 , 5 , 10 , 9 , 6 , 5 , 7 , 7 , 6 , x , 6 veri grubunun tepe değerlerinin ortalaması 6 ise grubun ortancasını bulunuz.

MERKEZİ YAYILIM ÖLÇÜLERİ…

Bazen merkezi eğilim ölçüleri karar vermede yeterli olmaya-bilir. Bu durumda karar verme sürecinde merkezi yayılım ölçülerinden faydalanırız. Merkezi yayılım ölçüleri; açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapmadır.

1 ) Açıklık : ( Aralık veya Ranj ) Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değerin farkı verilerin açıklığını gösterir.

Örnek : 5 , 17 , 13 , 4 , 8 , 21 , 11 , 2 , 7 veri grubunun açıklığını bulunuz.

2 ) Alt Çeyrek – Üst Çeyrek – Çeyrekler Açıklığı :
Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortanca ( Q_( 2 ) ile gösterilir ), veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayrılır. Sol tarafta kalan veri grubuna “ alt grup ”, sağ tarafta kalan veri grubuna da “ üst grup ” adı verilir.
Alt grubun ortancasına “ alt çeyrek ” ( Q_( 1 ) ile gösterilir ) , üst grubun ortancasına da “ üst çeyrek ” ( Q_( 3 ) ile gösterilir ) adı verilir.
Üst çeyrek ile alt çeyreğin farkına ise “ çeyrekler açıklığı ” adı verilir.

Çeyrekler Açıklığı  =  13 – 4  =  9   olarak bulunur.

Soru : 12 , 11 , 7 , 9 , 7 , 14 , 8 , 13 , 5 veri grubunun açıklığını, ortancasını ve çeyrekler açıklığını bulunuz.

Soru : 2 , 5 , 7 , 2 , 3 , 4 , 5 , 9 veri grubunun açıklığını, ortanca-sını ve çeyrekler açıklığını bulunuz.

3 ) Standar Sapma : Bir veri grubunda açıklık ve çeyrekler

açıklığı da merkezi yayılımı etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda veri grubunun standart sapması grup hakkında daha doğru yorum yapabilmemize imkan verir.
Standart sapma bulunurken;
1 ) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur. ( ( X ) ̅ )
2 ) Tüm verilerin sırası ile aritmetik ortalama ile farkının karesi alınır ve toplanır.
3 ) Bulunan toplam terim sayısının 1 eksiğine bölünür.
4 ) Çıkan sonucun karekökü alınır.

Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların aritmetik orta-lamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi vermektedir. Standart sapma ne kadar küçükse veri grubundaki sayılar birbirine o kadar yakındır.
Örnek : 8 , 4 , 2 , 10 ve 6 veri grubunun standart sapmasını bulunuz.

Soru : Bir dersten sınava giren beş öğrencinin aldığı puanlar;30 , 40 , 60 , 80 ve 90 ’dır. Bu notların standart sapmasını hesaplayınız.

Soru : 12 , 7 , 8 , 8 , 10 , 10 , 5 , 6 , 6 ve 8 veri grubunun standart sapmasını bulunuz.

Not : Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların aritmetik

ortalamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi vermektedir. Standart sapmaların karşılaştırıldığı sorularda, standart sapmanın küçük çıktığı değerler daha istikrarlı karşılanır.

Örnek : İki sınıftaki öğrencilerin bir dersten aldıkları notların aritmetik ortalaması ve standart sapması tabloda verilmiştir.

Notlara göre hangi sınıfın daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz ?

Sınıf	Aritmetik Ortalama	Standart Sapma
9 – A	50	2,3
9 – B	50	4,1

Soru : Fatih, Aslı ve Taha’nın 120 soruluk deneme sınavlarındaki ortalama netleri ve standart sapmaları tabloda verilmiştir. Verilere göre kimin daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz ?

Kişi	Aritmetik Ortalama ( Net )	Standart Sapma
Fatih	90	3
Aslı	88	2,4
Taha	90	4,1

GRAFİK YORUMLAMA…

Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine “ grafik ” adı verilir. Grafik türleri olarak; sütun, çizgi, daire, histogram, serpilme ve kutu grafiklerini işleyeceğiz.

1 ) Sütun Grafiği : Belirli bir zaman aralığında bazı veri grup- larının gelişimini veya veri gruplarını karşılaştırmak amacıyla kullanılan grafik türüdür. Eldeki veriler sütunlar veya çubuklar ile gösterilir. Sütun grafiği yatay veya düşey eksende de çubuklar ile gösterilebilinir.

Örnek : Alttaki tabloda bazı öğrencilerin bir dersten aldıkları notlar verilmiştir. Tabloya uygun bir sütun grafiği oluşturunuz.

Soru : Alttaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin fizik dersinden aldıkları notu göstermektedir. Grafiğe göre ;

A ) Sınıf mevcudu 7 kaçtır ?

B ) 7 notunu alanlar sınıfın yüzde kaçını oluşturur ?

C ) Geçer not 5 ise sınıfın yüzde kaçı kalmıştır ?

Soru : Altta bir şirketin 2015 ve 2016 yıllarındaki bazı aylardaki satış miktarlarının karşılaştırılmasını gösteren bir grafik verilmiştir. Grafiğe göre ;

A ) Satış rakamları arasındaki farkın en çok olduğu ay hangisi- dir ?

B ) Yıl bazında toplam satış miktarlarını bularak, hangi yıl diğerinden adet olarak kaç bin adet fazla satış yapılmıştır?

C ) Yıl bazında ortalama satışları bulunuz.

4.ÜNİTE:ÜÇGENLER

ÜÇGENLERDE TEMEL KAVRAMLAR

Açı Çeşitleri

---

---

---

---

Üçgen Çeşitleri

I. Açılarına Göre Üçgen Çeşitleri

II. Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri

---

---

_{Üçgende Açı Özellikleri}

---

---

Üçgende Açılar Çözümlü Örnekler

---

---

Üçgen Çeşitleri
1. Kenarlarına göre üçgenler:
    a) Eşkenar üçge
    b) İkizkenar üçgen    
    c) Çeşitkenar üçgen
2. Açılarına Göre Üçgenler
   a) Dar açılı üçgen
   b) Dik açılı üçgen
   c) Geniş açılı üçgen

Üçgenlerde Eşlik

ÜÇGENLERDE EŞLİK ŞARTLARI

İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları ve tüm açılarının ölçüleri eşitse bu iki üçgen eştir. Ancak iki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin eş olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki eşlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen eştir diyebiliriz.

1) Kenar – Kenar – Kenar Eşlik Şartı (KKK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna;  Kenar – Kenar – Kenar (KKK) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar eşlik şartına göre eştir.

2) Kenar – Açı – Kenar Eşlik Şartı (KAK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer kenar uzunlukları ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna;  Kenar – Açı – Kenar (KAK) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar eşlik şartına göre eştir.

3) Açı – Kenar – Açı Eşlik Şartı (AKA)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu iki açı arasında kalan kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna;  Açı – Kenar – Açı (AKA) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Kenar-Açı eşlik şartına göre eştir.

4) Kenar – Açı – Açı Eşlik Şartı (KAA)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu açılardan herhangi birinin karşısındaki kenarın uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna;  Kenar – Açı – Açı (KAA) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Açı eşlik şartına göre eştir. 

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

# İki üçgenin karşılıklı  açılarının ölçüleri birbirine eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

# İki üçgenin benzerliği “∼” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada yazılmalıdır.

# Benzer iki üçgende karşılıklı kenarları oranlarsak bu oranlar bir sayıya eşit olur. Bu sayıya benzerlik oranı denir. Genelde k harfi ile gösterilir.

Örneğin aşağıdaki örnekte benzerlik oranı 1/2’dir. Pay ve paydaların yeri değişirse benzerlik oranı 2 olarak da yazılabilir.

Bu, “DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin 2 katıdır.” veya “ABC üçgeninin kenar uzunlukları DEF üçgeninin yarısıdır.” anlamına gelir.

ÜÇGENLERDE BENZERLİK ŞARTLARI

İki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin benzer olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki benzerlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen benzerdir diyebiliriz.

1) Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Şartı (KKK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı kenar uzunluklarının oranı birbirine eşit isebu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna;  Kenar – Kenar – Kenar (KKK) benzerlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.

2) Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Şartı (KAK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı ikişer kenar uzunluklarının oranı ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzerdir üçgenlerdir. Buna;  Kenar – Açı – Kenar (KAK) benzerlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.

3) Açı – Açı Benzerlik Şartı (AA)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı iki açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna;  Açı – Açı (AA) benzerlik şartı denir. İki açıları eş olduğu için üçüncü açıları da eştir. Bu yüzden bu şarta Açı – Açı – Açı (AAA) benzerlik şartı da denilebilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Açı benzerlik şartına göre benzerdir.

EŞLİK VE BENZERLİK İLE İLGİLİ

# Her eş üçgen aynı zamanda benzerdir, ancak her benzer üçgen eş olmak zorunda değildir.

# Eş üçgenler benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenlerdir.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise çevreleri oranı da k’dır.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise karşılıklı yükseklikleri, açıortayları, kenarortayları oranı da k’dır.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise alanları oranı da k2‘dir.

ÖRNEKLER: Aşağıdaki üçgenlerde x ile gösterilen uzunlukları bulalım.

Üçgenin Yardımcı Elemanları

0

7468

Üçgenin yardımcı elemanları Yükseklik, Açıortay, Kenarortay ve Kenar orta dikmedir. Güncellenen yeni programda 8.sınıfta kenar orta dikme konusu işlenmemektedir. Başarılar dileriz. 

1) Yükseklik

» Bir köşeden karşı kenara veya kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.» Bir üçgende  üç farklı yükseklik çizilebilir.» Bir üçgende yüksekliklerin kesiştiği noktaya Diklik Merkezi denir.» Bir üçgende a kenarına çizilen yükseklik sembolle ha  şeklinde gösterilir.
» Yandaki gibi dar açılı üçgenlerde çizilen yükseklikler üçgenin iç bölgesinde olur.» Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde bulunur.

 

» Yandaki gibi geniş açılı üçgenlerde çizilen yüksekliklerden bir tanesi üçgenin iç bölgesinde, iki tanesi ise üçgenin dış bölgesinde bulunur.» Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dış bölgesinde bulunur.

NOT: Dik açılı üçgenlerde üçgenin üç yüksekliğinden ikisi zaten çizilidir, dik kenarlar üçgenin aynı zamanda yüksekliğidir. Diğer yükseklik ise dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse çizilir. Dik açılı bir üçgende diklik merkezi üçgenin üzerindedir, dik açının bulunduğu köşe üçgenin üç yüksekliğinin kesiştiği noktadır.

2) Açıortay

» Üçgenin herhangi bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya bölen ışına o açının açıortayıdenir.

» A köşesine ait açıortay sembolle nA şeklinde gösterilir.

3) Kenarortay

» Bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

» a kenarına ait kenar ortay sembolle Va şeklinde gösterilir.

» Bir dik üçgende hipotenüse ait kenar ortay hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir

DİK ÜÇGENDEKİ ORANLAR

Dik üçgende 90 derece dışındaki diğer açılardan birini seçelim. Örneğin resimde A açısı seçilmiştir.
Trigonometrik oranları yazarken resimdeki gibi bir isimlendirme kullanacağız. 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs, seçtiğimiz açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan ve açının bir kolu olan kenara ise komşu kenar diyeceğiz. İsimlendirme işinde de anlaştığımıza göre gelelim bu kenarları oranlamaya.

SİNÜS

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü denir. Bir A açısının sinüsü “sin A” şeklinde gösterilir.

KOSİNÜS

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü denir. Bir A açısının kosinüsü “cos A” şeklinde gösterilir.

TANJANT

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir. Bir A açısının tanjantı “tan A” şeklinde gösterilir.

KOTANJANT

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı denir. Bir A açısının kontanjantı “cot A” şeklinde gösterilir.

 ÇIKARILACAK DERSLER

Yukarıdaki trigonometrik oranları incelediğinizde aşağıdaki yazılanların bazılarını (belki hepsini) keşfetmiş olabilirsiniz. Ama biz yine de yazalım.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.
# Bir dar açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir. (Çarpmaya göre tersi?)
“Komşu/Hipotenüs Sinüs müydü, Kosinüs müydü?” veya “Komşu / Karşı Tanjant mıydı, Kotanjant mıydı?” gibi sorulara çözüm olarak şöyle bir yöntem izleyebilirsiniz. “Ko” ile başlayanların (yani kosinüs ve kotanjant) payında komşu var.

ÖZEL DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

30 – 60 – 90 ÜÇGENİ

Eşkenar üçgende bir kenara ait yükseklik çizilirse oluşan iki dik üçgenin de açıları 30° – 60° – 90° olur. Bu eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu 2a kabul edersek, oluşan dik üçgenlerde 30 derecelik açının karşısı a olur çünkü yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Yüksekliğin uzunluğunu da Pisagor Bağıntısından bulabiliriz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.

Buradan şu sonuçlara da varabiliriz. 30-60-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır.
# 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 3–√$\sqrt{3}$ katıdır.

45- 45 – 90 ÜÇGENİ

İkizkenar bir dik üçgenin açıları 45° – 45° – 90° ‘dir. Bu ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu a kabul edersek hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Bağıntısından a2–√$a\sqrt{2}$ buluruz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.

Buradan şu sonuca da varabiliriz. 45-45-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların uzunluğunun 2–√$\sqrt{2}$ katıdır.

30° – 45° – 60° AÇILARININ TRİGONOMETRİK ORAN TABLOSU

Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur?

30.03.2018 - 20:40

Üçgen geometrinin temelidir. Üçgenin alanını hesaplayabilmek, geometrideki bütün alan sorularını yapmanın anahtarıdır. Bu nedenle bu yazıda üçgenin alanı nasıl bulunur onun üzerinde duracağız. 6. sınıf matematik dersinden başlayarak bütün eğitim hayatımız boyunca üçgenin alanı bize çok lazım olacaktır.

Bu nedenle konuyu iyi öğrenmeye özen göstermeliyiz. Öncelikle belirtelim ki üçgenin alanını hesaplamak geometrideki en kolay şeydir. Basit bir formülü uygulamak yetecektir.

Konuyu detaylıca öğrenmek isteyenler için üçgenin alanı adlı konu anlatımını hazırladık. Vakti olmayanlar için basitçe üçgenin alanı formülünü verelim.

Üçgenin Alanı Formülü

Üçgenin alanının bir tane formülü vardır. Kenar x yükseklik / 2 formülüyle üçgende alan sorularını kolaylıkla ve yapabilirsiniz. Burada dikkat etmeniz gereken en önemli şey yüksekliğin o kenara ait olmasıdır. Üçgen içerisinde herhangi bir kenarı seçip o kenara ait yükseklikle çarpıp ikiye bölüyorsunuz.

Üçgenin kenarına a ve a kenarına ait yüksekliğe h dersek, alan formülü Alan = a.h / 2 olur.

Yukarıdaki görselde üçgenin alanı formülü verilerek basitçe ne işlem yapacağımız görselleştirilmiştir.

Şunu belirletim ki dik üçgende zaten iki kenar birbirine dik olduğu için dik kenarları çarpıp ikiye bölmek yeterlidir. İçeriden ekstra bir yükseklik çizmeye gerek yoktur. Basit bir örnek yapalım.

Örnek: Aşağıdaki resimde 3m ve 4m şeklinde uzunluğu verilen üçgenin alanı kaç m2 olur?

Çözüm: Çok basit. Dik kenarları çarparız ve ikiye böleriz. 3.4 / 2 = 12 / 2 = 6 m2 olur.

Eşkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur?

Yukarıda verdiğimiz formülle bütün alan soruları çözülebilir. Ancak özel üçgenlerde bize yükseklik vermeyebilir. Bu durumda yüksekliği kendimiz çizip Pisagor bağıntısıyla bulmamız gerekecektir.

Eşkenar üçgende üç kenar uzunluğu da eşit olduğu için, üç kenara ait yüksekliklerin uzunluğu eşittir. Aynı zamanda kenar uzunluğu ile yükseklik arasında da sabit bir oran vardır. Bu nedenle sadece bir kenarı bilinen bir eşkenar üçgenin alanı rahatlıkla bulunabilir.

Kenar uzunluğu a olan bir eşkenar üçgenin alanı formülü Alan = a2.√3 / 4 şeklindedir.

Yani bir kenar uzunluğu 8 cm olan bir üçgenin alanı 64.√3 / 4 = 16√3 cm2 olacaktır.

İkizkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur?

İkizkenar üçgen iki kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. Üçgenin üçüncü kenarının ise uzunluğu farklıdır.

Eğer üç kenar uzunluğu da verilmişse o zaman uzunluğu farklı olan kenara yükseklik çizilir. Çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortay da olacağına göre kenarı iki eş parçaya ayıracaktır. Bu durumda Pisagor bağıntısı kullanılarak yükseklik bulunur. Ardından da formül uygulanır.

Not: Yüksekliğin verilmediği durumlarda yüksekliği kendimiz çizip Pisagor bağıntısı ile uzunluğunu hesaplamalıyız.

Çeşitkenar Üçgenin Alanı

Çeşitkenar üçgen üç kenar uzunluğu da farklı olan üçgendir. Çeşitkenar üçgenin alanını hesaplamak için herhangi bir kenarın uzunluğunu ve o kenara ait yüksekliği bilmemiz yeterlidir. Yukarıda verdiğimiz formül bütün üçgenler için geçerlidir.

Fakat çeşitkenar üçgenin üç kenar uzunluğunu da bilmemize rağmen herhangi bir yükseklik bilmiyorsak o zaman alanı bulmak için şu adımları takip ederiz:

1. Üçgenin üç kenarını toplayarak çevresini bul. (Üçgenin alanı nasıl bulunur biliyorsunuz zaten.)
2. Bulduğun çevreyi ikiye böl ve çıkan sonucu bir harfe eşitle. (Mesela u harfi olsun.)
3. Kenarları a, b, c olan üçgen için Alan = √(u(u-a)(u-b)(u-c)) formülünü uygula.

Bir örnekle pekiştirelim. Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 cm olan üçgenin alanını bulalım.

Çevreyi 6 + 8 + 10 = 24 cm olarak buluruz. Çevrenin yarısı 24 / 2 = 12'dir. (u = 12)

Öyleyse alan = √(12(12-6)(12-8)(12-4)) = √(12.6.4.8) = √2304 = 48 cm2 bulunur.